৮১.How many terms are there in the series 2, 4, 8, 16, _________ 1024?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ধারাটি হলো \(2, 4, 8, 16, \dots, 1024\)।

এই ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression), কারণ প্রতিটি পদের সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা (সাধারণ অনুপাত) গুণ করে পরবর্তী পদ পাওয়া যাচ্ছে।

এখানে,

    
• প্রথম পদ (First term), \(a = 2\)
    
• সাধারণ অনুপাত (Common ratio), \(r = \frac{4}{2} = 2\)
    
• শেষ পদ (Last term), \(a_n = 1024\)

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদ নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\(a_n = a \cdot r^{n-1}\)

মান বসিয়ে পাই:

\(1024 = 2 \cdot 2^{n-1}\)

\(1024 = 2^1 \cdot 2^{n-1}\)

\(1024 = 2^{1 + n - 1}\)

\(1024 = 2^n\)

এখন, 1024 কে 2 এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করতে হবে। আমরা জানি:

\(2^1 = 2\)

\(2^2 = 4\)

\(2^3 = 8\)

\(2^4 = 16\)

\(2^5 = 32\)

\(2^6 = 64\)

\(2^7 = 128\)

\(2^8 = 256\)

\(2^9 = 512\)

\(2^{10} = 1024\)

সুতরাং,

\(2^n = 2^{10}\)

\(n = 10\)

অর্থাৎ, ধারাটিতে মোট 10টি পদ আছে।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

ধারার পদগুলো পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায় যে প্রতিটি পদই 2 এর ঘাত (power) আকারে আছে:

    
• প্রথম পদ: \(2 = 2^1\)
    
• দ্বিতীয় পদ: \(4 = 2^2\)
    
• তৃতীয় পদ: \(8 = 2^3\)
    
• চতুর্থ পদ: \(16 = 2^4\)

এভাবে, শেষ পদ 1024 হলো \(2\) এর কোন ঘাত, তা নির্ণয় করলেই পদের সংখ্যা পাওয়া যাবে।

আমরা জানি, \(2^{10} = 1024\)।

যেহেতু প্রথম পদ \(2^1\) থেকে শুরু হয়েছে এবং শেষ পদ \(2^{10}\) এ শেষ হয়েছে, তাই মোট পদের সংখ্যা হলো 10।